關(guān)于理解思維數(shù)學(xué)思想方法的淺析
內(nèi)容摘要：學(xué)生需要有“靈性”的基礎(chǔ)。然而，由于教學(xué)時(shí)的“囫圇吞棗”、練習(xí)時(shí)的“炒冷飯”、考試時(shí)的“重結(jié)果輕過程”導(dǎo)致了學(xué)生的基礎(chǔ)缺乏靈性。靈性的孕育需要建立在真正意義的理解基礎(chǔ)之上，注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透。
關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)靈性理解思維數(shù)學(xué)思想方法
學(xué)生需要怎樣的基礎(chǔ)
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的一些現(xiàn)象引起了我的注意──
筆者曾在我們學(xué)校的一個(gè)二年級(jí)班上做過調(diào)查，每分鐘能正確口算超過25題的學(xué)生占全班人數(shù)的一半以上。而且，據(jù)我觀察，至少我所在學(xué)校學(xué)生的口算能力還是不錯(cuò)的，無論是速度還是正確率都大大超過教材的要求。然而，這樣的計(jì)算基礎(chǔ)到了中高年級(jí)，面對(duì)簡便計(jì)算時(shí)，很多學(xué)生仍然“敗下陣來”。
在學(xué)習(xí)某一新知識(shí)時(shí)，課堂作業(yè)的正確率往往很高，然而過了一段時(shí)間再去進(jìn)行類似的練習(xí)，正確率大打折扣，令教師們直呼“前學(xué)后忘”。而遇到新的探索性問題，結(jié)果更讓人揪心。
考試時(shí)凡是練過的題學(xué)生解答尚可，但如果變換題目形式，結(jié)果常常慘不忍睹。教師們紛紛自責(zé)：“可能是復(fù)習(xí)的效果不太好。”
這些現(xiàn)狀令人擔(dān)憂！“學(xué)生需要怎樣的基礎(chǔ)”已經(jīng)引起了很多專家學(xué)者的討論，華東師范大學(xué)張奠宙教授有一個(gè)提法：讓基礎(chǔ)有靈性。什么是靈性？《漢語詞典》的解釋有多種，其中有一條指：人所具有的聰明才智，對(duì)事物的感受和理解的能力�！度嗣窠逃酚嗷劬昀蠋煂�(duì)它的理解是“不同背景下的‘貫通能力’，是具有思想方法做靈魂的‘知識(shí)’”。據(jù)此，筆者將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的靈性理解為學(xué)生的感悟能力、變通能力以及理解能力的組合概念，它是涉及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、以數(shù)學(xué)思想方法做靈魂的“知識(shí)”，是一種智慧。
何以造成學(xué)生的基礎(chǔ)缺乏“靈性”
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)為何看似厚實(shí)牢固，但實(shí)際上卻顯得缺乏靈性？筆者認(rèn)為主要有以下幾點(diǎn)原因：
教學(xué)時(shí)的“囫圇吞棗”造成學(xué)生過程性經(jīng)驗(yàn)的缺失。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)“是什么”“為什么”“有什么用”“還能得到什么”等幾個(gè)方面的問題。反思現(xiàn)實(shí)的教學(xué)，學(xué)生對(duì)于知識(shí)“是什么”往往是知道的，但這里的“知道”往往停留于表面，沒有能夠透過表面深入到本質(zhì)。教師對(duì)于知識(shí)的“為什么”雖然比過去有所重視，但很多學(xué)生的活動(dòng)和探索都是在教師明確的引導(dǎo)下進(jìn)行的，學(xué)生往往缺乏獨(dú)立思考的時(shí)空，有時(shí)甚至淺嘗輒止，流于形式，學(xué)生并沒有真正了解知識(shí)的來龍去脈。這樣的情況導(dǎo)致學(xué)生的過程性學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備不足，自主思考能力不強(qiáng)，容易前學(xué)后忘，并且只會(huì)解答與例題類似的習(xí)題，遇到稍有挑戰(zhàn)性的問題就無所適從。對(duì)于知識(shí)“有什么用”的問題，學(xué)生一般能夠在現(xiàn)實(shí)的問題情境中，通過解決問題有所體驗(yàn)，但由于問題的挑戰(zhàn)性不夠，因此學(xué)生的體驗(yàn)并不真切和深刻。更重要的，學(xué)生往往很難在教師的引導(dǎo)下，立足數(shù)學(xué)知識(shí)的整體架構(gòu)，體會(huì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)存在的必要性、必然性。而由這知識(shí)“還能得到什么”，也即學(xué)生由目前的知識(shí)還能做出哪些有意義的數(shù)學(xué)聯(lián)想，還能給出哪些合情的`猜想，等等，目前尚缺乏足夠的關(guān)注。
總體上說，學(xué)生的學(xué)習(xí)仍然主動(dòng)性不夠，無法經(jīng)常有效、完整地經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、形成、應(yīng)用和發(fā)展的過程。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是狹窄的、浮于表面的、“孤零零的”。
練習(xí)時(shí)的“炒冷飯”遏制了學(xué)生思維能力的發(fā)展。目前，教材上的習(xí)題大多是與例題教學(xué)相配套的，這些習(xí)題與例題的情境類似，解題方法相同，學(xué)生即使沒有真正理解新授內(nèi)容通過模仿也能求得正確結(jié)果。從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來說，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固、內(nèi)化需要一定量的模仿性練習(xí)。但是，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的練習(xí)絕不能僅僅停留于此。教師需要跟進(jìn)設(shè)計(jì)一些變式題，一些新的情境中的問題，一些需要應(yīng)用與新知有著密切聯(lián)系的舊知解決的綜合性問題。尤其在單元復(fù)習(xí)或是整冊(cè)教材復(fù)習(xí)時(shí)，我們更不能局限于單元或這一冊(cè)教材相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，“就題解題”式的練習(xí)，否則容易使學(xué)生的思維固化，不會(huì)變通。然而在目前，“炒冷飯”的現(xiàn)象大量存在，類似的題重復(fù)練習(xí)多遍，學(xué)生在重復(fù)性訓(xùn)練獲得知識(shí)的同時(shí)，也過度強(qiáng)化了與這些知識(shí)相關(guān)的思維范式，思維的靈活性以及求異性得不到重視與發(fā)展。
考試時(shí)的“重結(jié)果輕過程”影響了學(xué)生的真正理解。學(xué)校的數(shù)學(xué)試卷上，檢測(cè)過程性知識(shí)的試題仍然偏少。比如，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法之后，單元測(cè)試題無非是分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算題、應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算解決簡單的實(shí)際問題等。于是，“為考試而教”的思想使得很多教師在實(shí)際教學(xué)中忽視了學(xué)生對(duì)知識(shí)形成過程的掌握與理解。筆者記得，在“分?jǐn)?shù)乘法”單元練習(xí)中，有一道檢測(cè)過程性知識(shí)的試題難倒了一大片學(xué)生，這道題是這樣的：請(qǐng)你在右邊的長方形中表示出1/2×2/3，再計(jì)算。
上述三個(gè)方面的原因最終又回歸到數(shù)學(xué)教學(xué)上面來。數(shù)學(xué)教學(xué)過程學(xué)生的感悟不充分、理解不到位、缺乏變通的機(jī)會(huì)，因而他們獲得的只是一堆冰冷的知識(shí)，學(xué)生的靈性自然也缺失了生長的根基。
如何為學(xué)生打下有“靈性”的基礎(chǔ)
1．靈性的孕育需要建立在真正意義的理解基礎(chǔ)之上。
為學(xué)生打下有靈性的基礎(chǔ)，需要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的真正意義上的理解。具體可以從以下幾個(gè)方面加以努力：
第一，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有密切關(guān)系的，有時(shí)因?yàn)榻處煕]有去深入研究而忽視了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使得學(xué)生失去“知其然也知其所以然”的機(jī)會(huì)。例如，小數(shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，學(xué)生很容易出錯(cuò)。如果教師緊緊抓住小數(shù)除法與整數(shù)除法的聯(lián)系，小數(shù)除法內(nèi)部知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)就有可能穩(wěn)步推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)真正意義上的理解。首先，小數(shù)除法學(xué)習(xí)的是除數(shù)是整數(shù)的情況，這里要讓學(xué)生聯(lián)系整數(shù)除法的知識(shí)掌握小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算程序，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)并理解確定商的小數(shù)點(diǎn)位置的方法；接著進(jìn)一步接觸小數(shù)除以整數(shù)的不同情況，如除到被除數(shù)的末尾還有余數(shù)的，整數(shù)部分不夠除的等等，掌握試商方法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法，只要讓學(xué)生明確除數(shù)是小數(shù)的除法需要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，將新知轉(zhuǎn)化為舊知，按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。但為了保證轉(zhuǎn)化不改變?cè)瓉淼慕Y(jié)果，因而轉(zhuǎn)化的過程中需要應(yīng)用商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)乘上相同的數(shù)。了解到知識(shí)之間的聯(lián)系后，學(xué)生的新知學(xué)習(xí)就能很好地建立在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，學(xué)習(xí)會(huì)變得更容易；同時(shí)，學(xué)生還能很好地把握知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，理解得也會(huì)更加深刻，應(yīng)用起來也能更加自如。
第二，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。知識(shí)的形成需要一定的過程，如果忽略過程直接告知結(jié)果，那么知識(shí)就如沒有長根的浮萍，經(jīng)不起時(shí)間的考驗(yàn)。公式的推導(dǎo)、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、技能的形成、方法的習(xí)得等都不能急于求成。雖說學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能也不必要像當(dāng)初數(shù)學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)知識(shí)那樣經(jīng)歷漫長的過程，但是需要教師創(chuàng)設(shè)一定的情境，引導(dǎo)學(xué)生由表及里、由淺入深、由此及彼，逐步感悟數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過程。比如，教學(xué)《長方體的體積》一課。教師設(shè)計(jì)一項(xiàng)操作活動(dòng)，讓學(xué)生用體積是1立方厘米的小正方體搭成大小不同的長方體，通過數(shù)小正方體的個(gè)數(shù)來計(jì)算長方體的體積。在數(shù)的過程中，知識(shí)慢慢發(fā)生了：學(xué)生會(huì)逐步發(fā)現(xiàn)小正方體的總個(gè)數(shù)剛好等于每排的個(gè)數(shù)×每一層的排數(shù)×層數(shù)。這是基于操作的觀察和聯(lián)想。這時(shí)，教師會(huì)有意識(shí)地將操作中的數(shù)據(jù)以表格的方式呈現(xiàn)，以幫助學(xué)生確認(rèn)剛才的猜想，并在頭腦里回想用小正方體搭長方體的過程（從動(dòng)作操作上升到表象操作），但嚴(yán)格意義上說，抽象的數(shù)學(xué)公式還未形成。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括：小正方體的總個(gè)數(shù)就是長方體的體積，每排的個(gè)數(shù)就相當(dāng)于長方體的長，每一層的排數(shù)相當(dāng)于長方體的寬，層數(shù)就相當(dāng)于長方體的高，因而，長方體的體積=長×寬×高。這時(shí)，長方體的體積公式就形成了。當(dāng)然，學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，還要學(xué)會(huì)將之特殊化，得到正方體的體積公式。
第三，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在知識(shí)形成之后，教師要努力尋找現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)原型，引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題。這樣，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，也能讓學(xué)生在具體的應(yīng)用過程中進(jìn)一步理解、掌握知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在這一過程中，需要特別加以考慮的是情境的變化、問題表述的現(xiàn)實(shí)性和數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度、方法的多樣性等幾個(gè)要素。
2．靈性的孕育要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。
如果學(xué)生具備了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，那么面對(duì)復(fù)雜的情景，他們就能獨(dú)立地去分析、判斷、推理，從容地解決問題。
首先，數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，這是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)。讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考需要注意以下幾個(gè)方面的問題：
設(shè)計(jì)好的問題。所謂好的問題是指有思考價(jià)值的、學(xué)生經(jīng)過努力能解決的問題。這就意味著問題不能過淺，學(xué)生不假思索就可以找到答案；問題也不能過難，學(xué)生“跳一跳”也夠不著。
教給思考的方法。小學(xué)生因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)、知識(shí)基礎(chǔ)等方面的原因，面對(duì)問題往往無從下手，因此，教師要注重教給他們思考的方法。如解決實(shí)際問題時(shí)可以從條件想起，也可以從問題想起，讓學(xué)生明確思考的方向。在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，可以聯(lián)系相關(guān)的舊知識(shí)進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的不同點(diǎn)，從而得出新的結(jié)論。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，可以通過猜想、驗(yàn)證的方法進(jìn)行研究，等等。
分享思考的過程。在課堂交流反饋時(shí)，教師不僅要關(guān)注學(xué)生思考的結(jié)果，也要關(guān)注思考的過程，要讓學(xué)生完整地表述自己的思考過程，使得交流反饋成為學(xué)生互相學(xué)習(xí)、借鑒思考方法的良機(jī)。
其次，數(shù)學(xué)教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思維的深入，這是提升學(xué)生思維能力的關(guān)鍵。教學(xué)時(shí)我們需關(guān)注以下幾個(gè)問題：
要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入研究教材，把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)所在，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。如，在一年級(jí)教學(xué)用加法（減法）解決的實(shí)際問題時(shí)，教師不要滿足于學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)正確列式解答，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析題中的數(shù)量關(guān)系，理解這樣解答的道理。這樣，學(xué)生才能逐漸深入地把握問題的本質(zhì)。
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