關(guān)于質(zhì)因數(shù)的奧數(shù)問題
關(guān)于質(zhì)因數(shù)的奧數(shù)問題1
五年級(jí)奧數(shù)題及答案：分解質(zhì)因數(shù)
個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。
分析：先大概估計(jì)一下，30×30×30=27000，遠(yuǎn)小于42560.40×40×40=64000，遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在30～40之間。
解：42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×(19×2)
=32×35×38(合題意)
要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。
關(guān)于質(zhì)因數(shù)的奧數(shù)問題2
例8 一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。
分析 ∵a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，
∴乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，
∴a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5，因此a最小為2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值為30，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。
例9 問360共有多少個(gè)約數(shù)？
分析 360=23×32×5。
為了求360有多少個(gè)約數(shù)，我們先來看32×5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數(shù).為了求32×5有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數(shù)。
解：記5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y1，
32×5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y2，
360（=23×32×5）的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
顯然Y1=2（5只有1和5兩個(gè)約數(shù)）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24個(gè)約數(shù)。
說明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中2的最大指數(shù)加1，也就是360＝23×32×5中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是23×32×5中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即23×32×5中質(zhì)因數(shù)5的`個(gè)數(shù)加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于對(duì)23×32×5（=360）的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：
一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。
例10 求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20個(gè)約數(shù)。
請(qǐng)你列舉一下240的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個(gè)？
例1 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).
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