同角三角函數間的關系知識點

　　同角三角函數的基本關系式是三角函數基礎知識的綜合應用,是高考必考內容。本文是小編整理同角三角函數間的關系的資料，僅供參考。

　　同角三角函數間的關系

　　平方關系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　tan^2(α)+1=sec^2(α)

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·積的關系：

　　sinα=tanα·cosα

　　cosα=cotα·sinα

　　tanα=sinα·secα

　　cotα=cosα·cscα

　　secα=tanα·cscα

　　cscα=secα·cotα

　　·倒數關系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

　　余弦等于角A的鄰邊比斜邊

　　正切等于對邊比鄰邊,

　　余切等于鄰邊比對邊

　　互余角的三角函數間的關系：

　　sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

　　tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

　　同角三角函數基本關系

　　三類：

　　一)同角三角函數的基本關系：

　　(sinθ)^2+(cosθ)^2=1;

　　tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1;

　　(secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1

　　二)誘導公式，在360°內的變換(角度制)：

　　取值 sinθ cosθ tanθ

　　α sinα cosα tanα

　　-α -sinα cosα -tanα

　　180+α -sinα -cosα tanα

　　180-α sinα -cosα -tanα

　　360+α sinα cosα tanα

　　360-α -sinα cosα -tanα

　　90+α cosα -sinα -cotα

　　90-α cosα sinα cotα

　　270+α -cosα sinα -cotα

　　270-α -cosα -sinα cotα

　　三)兩個角的變換關系，不屬于初中內容：

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　同角三角函數公式起源

　　“三角學”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 Trigonometria�，F代三角學一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學：解三角學的簡明處理》，創(chuàng)造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(測量)兩字構成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附于天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。

　　早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移;后來，貿易的發(fā)展和求知的欲望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標，夜里則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確的道路。

　　就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測，以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相聯系而邁出自己發(fā)展史的第一步的。

　　公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由于印度數學家的努力而大大的豐富了。

　　三角學中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

　　我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與∠AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

　　印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了”sinus”。

　　高中一年級數學《同角三角函數的基本關系》

　　一、教材分析

　　1、教材的地位與作用:《同角三角函數的基本關系》是學習三角函數定義后安排的一節(jié)繼續(xù)深入學習的內容,是求三角函數值,化簡三角函數式,證明三角恒等式的基本工具，是整個三角函數的基礎，起承上啟下的作用，同時，它體現的數學思想方法在整個中學學習中起重要作用。

　　2、教學目標的確定及依據

　　A、知識與技能目標：通過觀察猜想出兩個公式，運用數形結合的'思想讓學生掌握公式的推導過程，理解同角三角函數的基本關系式，掌握基本關系式在兩個方面的應用：

　　1）已知一個角的一個三角函數值能求這個角的其他三角函數值；

　　2）證明簡單的三角恒等式。

　　B、過程與方法：培養(yǎng)學生觀察——猜想——證明的科學思維方式；通過公式的推導過程培養(yǎng)學生用舊知識解決新問題的思想；通過求值、證明來培養(yǎng)學生邏輯推理能力；通過例題與練習提高學生動手能力、分析問題解決問題的能力以及其知識遷移能力。

　　C、情感、態(tài)度與價值觀：經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　3、教學重點和難點

　　重點：同角三角函數基本關系式的推導及應用。

　　難點：同角三角函數函數基本關系在解題中的靈活選取及使用公式時由函數值正、負號的選取而導致的角的范圍的討論。

　　二、學情分析：

　　學生剛開始接觸三角函數的內容，學習了任意角的三角函數，對這一方面的內容既感到新鮮又感到陌生，很有好奇心，躍躍欲試，學習熱情高漲。

　　三、教法分析與學法分析：

　　1、教法分析：采取誘思探究性教學方法，在教學中提出問題，創(chuàng)設情景引導學生主動觀察、思考、類比、討論、總結、證明，讓學生做學習的主人，在主動探究中汲取知識，提高能力。

　�。�、學法分析：從學生原有的知識和能力出發(fā),在教師的帶領下，通過合作交流,共同探索,逐步解決問題.數學學習必須注重概念、原理、公式、法則的形成過程，突出數學本質。

　　四、教學過程設計

　　例1、設計意圖：已知一個角的某一個三角函數值，便可運用基本關系式求出其它三角函數值。在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。本題主要利用的數學解題思想是：分類討論

　　例2、設計意圖：

　　（1）分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式，注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以 ,將分子、分母轉化為 的代數式；還可以利用商數關系解決。

　�。�2）“化1法”，可利用平方關系 ，將分子、分母都變?yōu)槎�次齊次式，再利用商數關系化歸為 的分式求值；

　　五、教學反思：

　　如此設計教學過程，既復習了上一節(jié)的內容，又充分利用舊知識帶出新知識，讓學生明白到數學的知識是相互聯系的，所以每一節(jié)內容都應該把它牢固掌握；在公式的推導中，教師是用創(chuàng)設問題的形式引導學生去發(fā)現關系式，多讓學生動手去計算，體現了&qut;教師為引導,學生為主體,體驗為紅線,探索得材料,研究獲本質,思維促發(fā)展&qut;的教學思想。通過兩種不同的例題的對比，讓學生能夠明白到關系式中的開方，是需要考慮正負號，而正負號是與角的象限有關，角的象限題目可以直接給出來，但有時是需要已知條件來推出角可能所在的象限，通過分析，把本節(jié)課的教學難點解決了。

　　由于課堂在完成例題及變式時要給予學生充分的時間思考與嘗試，故對學生的檢測只能安排在課后的作業(yè)中，作業(yè)可以檢測學生對本節(jié)課內容掌握的情況，能否靈活運用知識進行合理的遷移，可以發(fā)現學生在解題中存在的問題，下節(jié)課教師再根據學生完成的情況加以評講，并設計相應的訓練題，使學生的認識再上一個臺階。

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