數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)二年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)
從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律.
例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個(gè)點(diǎn)?
解：方法1：從上到下一行一行地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖.
點(diǎn)的總數(shù)是：
5+5+5+5=5×4.
方法2：從左至右一列一列地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖.
點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5.
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立：
5×4=4×5
從這個(gè)等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：
兩個(gè)數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變.
這就是乘法交換律.
正因?yàn)檫@樣，在兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，以后我們也可以不再區(qū)分哪個(gè)是乘數(shù)，哪個(gè)是被乘數(shù)，把兩個(gè)數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個(gè)說(shuō)法：
兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.
如果用字母a、b表示兩個(gè)因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a.
方法3：分成兩塊數(shù)，見(jiàn)右圖.
前一塊4行，每行3個(gè)點(diǎn)，共3×4個(gè)點(diǎn).
后一塊4行，每行2個(gè)點(diǎn)，共2×4個(gè)點(diǎn).
兩塊的總點(diǎn)數(shù)=3×4+2×4.
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立：
3×4+2×4=5×4.
仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個(gè)數(shù)的關(guān)系：
3+2=5
所以上面的等式可以寫(xiě)成：
3×4+2×4=(3+2)×4
也可以把這個(gè)等式調(diào)過(guò)頭來(lái)寫(xiě)成：
(3+2)×4=3×4+2×4.
這就是乘法對(duì)加法的分配律.
如果用字母a、b、c代表三個(gè)數(shù)，那么乘法對(duì)加法的分配律可以表示成下面的形式：
(a+b)×c=a×c+b×c
分配律的意思是說(shuō)：兩個(gè)數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積加上第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積之和.
進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號(hào)中是減法運(yùn)算的情況呢?請(qǐng)看下面的例子：
計(jì)算(3-2)×4和3×4-2×4.
解：(3-2)×4=1×4=4
3×4-2×4=12-8=4.
兩式的計(jì)算結(jié)果都是4，從而可知：
(3-2)×4=3×4-2×4
這就是說(shuō)，這個(gè)分配律也適用于一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的差與第三個(gè)數(shù)相乘的情況.
如果用字母a、b、c(假設(shè)a>b)表示三個(gè)數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：(a-b)×c=a×c-b×c.
正因?yàn)檫@個(gè)分配律對(duì)括號(hào)中的“+”和“-”號(hào)都成立，于是，通常人們就簡(jiǎn)稱(chēng)它為乘法分配律.
例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長(zhǎng)方體是由多少個(gè)小長(zhǎng)方體組成的?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)上右圖.
第一層 4×2個(gè)
第二層 4×2個(gè)
第三層 4×2個(gè)
三層小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)(4×2)×3個(gè).
方法2：從左至右一排一排地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖.
第一排 2×3個(gè)
第二排 2×3個(gè)
第三排 2×3個(gè)
第四排 2×3個(gè)
四排小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)為(2×3)×4.
若把括號(hào)中的2×3看成是一個(gè)因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫(xiě)成下面的形式：4×(2×3).
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化.把兩種方法連起來(lái)看，應(yīng)有下列等式成立：(4×2)×3=4×(2×3).
這就是說(shuō)在三個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同.
或是說(shuō)，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘以第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再去乘第一個(gè)數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律.
如果用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：(a×b)×c=a×(b×c).
巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔、迅速.
從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計(jì)算公式.
例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖.
總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群(但要上下顛倒放置)和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立(見(jiàn)下圖)：
三角形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2
因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=10×9=(1+9)×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2=45.
進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來(lái)看：
方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù).
方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”.經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長(zhǎng)方形點(diǎn)群，而長(zhǎng)方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來(lái)了.
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2.
這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡(jiǎn)單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國(guó)的古算書(shū)上就出現(xiàn)了.
再進(jìn)一步，若脫離開(kāi)圖形(點(diǎn)群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
這個(gè)等式的左邊就是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說(shuō)成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半.或是寫(xiě)成下面的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.
例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖：
總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20.
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群如下圖所示：
由圖可見(jiàn)，有下列等式成立：
梯形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2.
因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6
而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=8×5=(2+6)×5
代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2
與例1類(lèi)似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個(gè)計(jì)算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡(jiǎn)單的公式.
再進(jìn)一步，若脫離開(kāi)圖形(點(diǎn)群)的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
這個(gè)等式的左邊就是一個(gè)等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5.這樣這個(gè)等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半.
寫(xiě)成下面較簡(jiǎn)化的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
這就是等差數(shù)列的求和公式.
例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小三角形?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見(jiàn)下圖.
小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個(gè).
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來(lái)的一起拼成一個(gè)大平行四邊形如下圖所示.
顯然平行四邊形包含的小三角形個(gè)數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個(gè)數(shù)的'兩倍，即下式成立.
大三角形中所含=平行四邊形所含÷2
平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個(gè))
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7=(1+7)×4÷2
這樣，我們就得到了一個(gè)公式：
小三角形個(gè)數(shù)=(第一層的數(shù)+最末層的數(shù))×層數(shù)÷2
脫離開(kāi)圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
等式左邊就表示一個(gè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4.這樣這個(gè)等式的含義也就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半.
寫(xiě)成較簡(jiǎn)單的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2.
二年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第二講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)
單元知識(shí)點(diǎn)：
1. 掌握至少兩種多個(gè)相同加數(shù)相加的方法；體會(huì)與乘法關(guān)系，根據(jù)加法列出乘法算式。
2. 乘法的意義、書(shū)寫(xiě)、讀法。
3. 運(yùn)用乘法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。
課時(shí)知識(shí)點(diǎn)：
第一節(jié)：數(shù)一數(shù)
會(huì)用兩種不同的方法（一排一排或一列一列地）數(shù)方陣排列的物體個(gè)數(shù)，相應(yīng)列出兩個(gè)不同的連加算式。知道用乘法算式表示相同數(shù)連加比較簡(jiǎn)便，體會(huì)學(xué)習(xí)乘法的必要性。
第二節(jié)：兒童樂(lè)園
1．結(jié)合解決問(wèn)題，經(jīng)歷把相同加數(shù)的連加算式抽象為乘法算式的過(guò)程。
2．能把相同加數(shù)的連加算式改寫(xiě)成乘法算式并理解意義、掌握各部分名稱(chēng)及讀法，并應(yīng)用加法計(jì)算簡(jiǎn)單的乘法算式的結(jié)果。
第三節(jié)：有幾塊積木
會(huì)用兩種不同的方法數(shù)排列的物體個(gè)數(shù)，列出同一個(gè)乘法算式。
第四節(jié)：動(dòng)物聚會(huì)
會(huì)運(yùn)用乘法解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)乘法運(yùn)算意義。
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